Población y muestra
Población es el conjunto de todos los elementos cuyas propiedades se van a estudiar; mientras que la muestra es un subconjunto de casos o individuos de la población.
Veamos a detalle estos conceptos, y también, algunos ejemplos y ejercicios.
Población
Es el conjunto de todos los elementos cuyas propiedades se van a estudiar. También es llamada universo.
Una población puede ser finita o infinita:
- Población finita: es aquella cuya cantidad de elementos es posible de determinar. Ejemplo: conjunto de librerías de la ciudad de Lima.
- Población infinita: es aquella cuya cantidad de elementos es imposible de determinar. Ejemplo: conjunto de lápices fabricados en un proceso continuo.
Muestra
Es un subconjunto de la población. En muchas ocasiones, es importante trabajar con una muestra representativa de la población, para ello, debemos trabajar con criterios y técnicas de muestreo. Una muestra representativa debe reflejar las características de la población.
En la práctica, para estudiar una población grande, debemos tomar una muestra. Por ejemplo, si queremos saber cuál es el candidato preferido para las próximas elecciones presidenciales de Colombia, tomaría mucho tiempo preguntarle a todos los electores por su candidato preferido, además, sería muy caro contratar tantos encuestadores, digitadores y estadísticos. Por ello, es mejor, analizar una muestra de electores, aplicar una encuesta, y a partir de allí sacar conclusiones de la población.
Individuo
Es cada uno de los elementos que componen la población. También se le conoce como unidad estadística.
Muestras Aleatorias
Tablas de frecuencias
Las Tablas de frecuencias son herramientas de Estadística donde se colocan los datos en columnas representando los distintos valores recogidos en la muestra y las frecuencias (las veces) en que ocurren.
Elementos de las Tablas de frecuencias
Datos
Los datos son los valores de la muestra recogida en el estudio estadístico
Frecuencia absoluta
La frecuencia absoluta (ni) es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico. Número de veces que se repite el í-esimo valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por n
Frecuencia absoluta acumulada
La Frecuencia absoluta acumulada (Ni) es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado.
N1 = n1
N2 = n1 + n2 = N1 + n2
N3 = n1 + n2 + n3 = N2 + n3
Nk = n.
Se interpreta como el número de observaciones menores o iguales al í-esimo valor de la variable.
Frecuencia relativa
La frecuencia relativa (fi) es la proporción de veces que se repite un determinado dato.
La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta de un determinado valor y el número total de datos.
fi = ni/n
La suma de las frecuencias relativas es igual a 1.
Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada (Fi) es el número de observaciones menores o iguales al í-esimo valor de la variable pero en forma relativa.
F1 = fl
F2 = f1+ f2 = F1 + f2
F3 = f1+ f2 + f3 = F2 + f3
Fk = 1
Tabla de frecuencia de datos no agrupados
Los datos no agrupados son las de observaciones realizadas en un estudio estadistico que se presentan en su forma original tal y como fueron recolectados, para obtener información directamente de ellos.
La Tabla de frecuencia de datos no agrupados indica las frecuencias con que aparecen los datos estadísticos sin que se haya hecho ninguna modificación al tamaño de las unidades originales. En estas distribuciones cada dato mantiene su propia identidad después que la distribución de frecuencia se ha elaborado. En estas distribuciones los valores de cada variable han sido solamente reagrupados, siguiendo un orden lógico con sus respectivas frecuencias.
La tabla de frecuencias de datos no agrupados se emplea si las variables toman un número pequeños de valores o la variable es discreta.
Tabla de frecuencia de datos agrupados
La Tabla de frecuencia de datos agrupados aquella distribución en la que los datos estadísticos se encuentran ordenados en clases y con la frecuencia de cada clase; es decir, los datos originales de varios valores adyacentes del conjunto se combinan para formar un intervalo de clase.
La tabla de frecuencias agrupadas se emplea generalmente si las variables toman un número grande de valores o la variable es continua.
En este caso se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clase se le asigna su frecuencia correspondiente.
Las clases deben ser excluyentes y exhaustivas, es decir que cada elemento de la muestra debe pertenecer a una sola clase y a su vez, todo elemento debe pertenecer a alguna clase.
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
Los intervalos se forman teniendo presente que el límite inferior de una clase pertenece al intervalo, pero el límite superior no pertenece intervalo, se cuenta en el siguiente intervalo. No existe una regla fija de cuantos son los intervalos que se deben hacer; hay diferentes criterios, la literatura especializada recomienda considerar entre 5 y 20 intervalos. El número de intervalos se representa por la letra "K".
El Recorrido es el límite dentro del cual están comprendidos todos los valores de la serie de datos,. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera.
R = Xmax. - Xmin.
La Amplitud de la clase es la diferencia entre el límite superior e inferior de la clase y se representarán por "Ci"
Ci = R/K
Se considerará la misma amplitud para todos los intervalos.
La Marcas de clases (Xi) representa a la variable a través de un valor. Se calcula como el punto medio de cada clase, o bien la semi suma de la clase
La tabla de frecuencias puede representarse gráficamente en un histograma. Normalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el horizontal los intervalos de valores.
Histogramas, Polígonos de Frecuencia y Ojivas
Un Histograma es la representación gráfica de una tabla de frecuencias. El histograma puede ser: de frecuencias absolutas, de frecuencias relativas, de frecuencias absolutas acumuladas y de frecuencias relativas acumuladas.
Más profundamente, el histograma de frecuencias es una representación visual de los datos en donde se evidencian fundamentalmente tres características: forma, acumulación o tendencia posicional y dispersión o variabilidad.
Un Polígono de Frecuencia es el nombre que recibe una clase de gráfico que se crea a partir de un histograma de frecuencia. Los histogramas emplean columnas verticales para reflejar las frecuencias, los polígonos de frecuencia se forman uniendo los puntos más altos de cada una de las columnas del Histograma.
Podemos observar que el polígono de frecuencia es la línea roja que une el centro de cada barra del histograma. Sólo se ha dejado el histograma para una mayor comprensión del concepto que se desea ilustrar.
Por último hablaremos de las Ojivas.
Una Ojiva se utiliza para representar la frecuencia acumulada. Similar al Polígono de frecuencia, se forma o se construye uniendo los puntos más altos de cada columna pero de un Histograma que represente las Frecuencias Acumuladas.
Por último hablaremos de las Ojivas.
Una Ojiva se utiliza para representar la frecuencia acumulada. Similar al Polígono de frecuencia, se forma o se construye uniendo los puntos más altos de cada columna pero de un Histograma que represente las Frecuencias Acumuladas.
Al estar construido en función de las frecuencias acumuladas permite ver cuántas observaciones se encuentran por encima o debajo de ciertos valores, en lugar de solo exhibir los números asignados a cada intervalo.
En este ejemplo se visualiza claramente lo que se conceptualizó antes, por ejemplo, se puede ver rápidamente que hay 8 secciones con 39 alumnos o menos.
Cabe destacar que las Ojivas también se pueden hacer a la inversa, comenzando con la mayor y terminando con la menor frecuencia.
Estos 3 tipos de gráficos son muy útiles y son fáciles de interpretar cuando estamos trabajando con tablas de frecuencia.
Distribuciones muestrales.
Si X1, X2, …, Xn representa una m.a. de tamaño n, entonces la varianza de la muestra se define con la estadística
Corolario: La varianza de una m.a. de tamaño n, se puede obtener
de la siguiente manera:
La desviación estándar de la muestra, que se denota por S, es la raíz cuadrada positiva de la varianza de la muestra.
La distribución muestral de una estadística depende del tamaño de la población, el tamaño de las muestras y el método de elección de las muestras.
Teorema del límite central.
El teorema del límite central es un teorema fundamental de probabilidad y estadística. El teorema describe la distribución de la media de una muestra aleatoria proveniente de una población con varianza finita. Cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, la distribución de las medias sigue aproximadamente una distribución normal. El teorema se aplica independientemente de la forma de la distribución de la población. Muchos procedimientos estadísticos comunes requieren que los datos sean aproximadamente normales. El teorema de límite central le permite aplicar estos procedimientos útiles a poblaciones que son considerablemente no normales. El tamaño que debe tener la muestra depende de la forma de la distribución original. Si la distribución de la población es simétrica, un tamaño de muestra de 5 podría producir una aproximación adecuada. Si la distribución de la población es considerablemente asimétrica, es necesario un tamaño de muestra más grande. Por ejemplo, la distribución de la media puede ser aproximadamente normal si el tamaño de la muestra es mayor que 50. Las siguientes gráficas muestran ejemplos de cómo la distribución afecta el tamaño de la muestra que se necesita.
Distribución uniforme
Medias de las muestras
Muestras de una población uniforme
Una población que sigue una distribución uniforme es simétrica, pero marcadamente no normal, como lo demuestra el primer histograma. Sin embargo, la distribución de las medias de 1000 muestras de tamaño 5 de esta población es aproximadamente normal debido al teorema del límite central, como lo demuestra el segundo histograma. Este histograma de las medias de las muestras incluye una curva normal superpuesta para ilustrar esta normalidad.
Distribución exponencial
Medias de las muestras
Muestras de una población exponencial
Una población que sigue una distribución exponencial es asimétrica y no normal, como lo demuestra el primer histograma. Sin embargo, la distribución de las medias de 1000 muestras de tamaño 50 de esta población es aproximadamente normal debido al teorema del límite central, como lo demuestra el segundo histograma. Este histograma de las medias de las muestras incluye una curva normal superpuesta para ilustrar esta normalidad.
Estimación del intervalo de confianza para la media
Se emplea la siguiente fórmula:
Donde:
Z = valor crítico de la distribución normal estandarizada
Se llama valor crítico al valor de Z necesario para construir un intervalo de confianza para la distribución. El 95% de confianza corresponde a un valor ( de 0,05. El valor crítico Z correspondiente al área acumulativa de 0,975 es 1,96 porque hay 0,025 en la cola superior de la distribución y el área acumulativa menor a Z = 1,96 es 0,975.
Un nivel de confianza del 95% lleva a un valor Z de 1,96.
El valor de Z es aproximadamente 2,58 porque el área de la cola alta es 0,005 y el área acumulativa menor a Z = 2,58 es 0,995.
Ejemplo ilustrativo
Solución:
Realizando un gráfico ilustrativo en Winstats y Paint se obtiene:
Con lectura en la tabla de la distribución normal para un área de 0,025 se obtiene Z = -1,96. Por simetría se encuentra el otro valor Z = 1,96
Remplazando valores y realizando lo cálculos se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Interpretación: Existe un 95% de confianza de que la media poblacional se encuentre entre 23,02 y 24,98
ESTIMACIÓN DE INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA
Antes de seguir continuando es necesario estudiar la distribución t de Student, por lo que a continuación se presenta una breve explicación de esta distribución.
Al comenzar el siglo XX, un especialista en Estadística de la Guinness Breweries en Irlanda llamado William S. Gosset deseaba hacer inferencias acerca de la media cuando la 
fuera desconocida. Como a los empleados de Guinness no se les permitía publicar el trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de "Student". La distribución que desarrolló se conoce como la distribución t de Student.
fuera desconocida. Como a los empleados de Guinness no se les permitía publicar el trabajo de investigación bajo sus propios nombres, Gosset adoptó el seudónimo de "Student". La distribución que desarrolló se conoce como la distribución t de Student.
Si la variable aleatoria X se distribuye normalmente, entonces el siguiente estadístico tiene una distribución t con n - 1 grados de libertad.
Esta expresión tiene la misma forma que el estadístico Z en la ecuación para la distribución muestral de la media con la excepción de que S se usa para estimar la desconocida.
desconocida.
Entre las principales propiedades de la distribución t se tiene:
En apariencia, la distribución t es muy similar a la distribución normal estandarizada. Ambas distribuciones tienen forma de campana. Sin embargo, la distribución t tiene mayor área en los extremos y menor en el centro, a diferencia de la distribución normal.
Los grados de libertad de esta distribución se calculan con la siguiente fórmula
Donde n = tamaño de la muestra
Ejemplo: Imagínese una clase con 40 sillas vacías, cada uno elige un asiento de los que están vacíos. Naturalmente el primer alumno podrá elegir de entre 40 sillas, el segundo de entre 39, y así el número irá disminuyendo hasta que llegue el último alumno. En este punto no hay otra elección (grado de libertad) y aquel último estudiante simplemente se sentará en la silla que queda. De este modo, los 40 alumnos tienen 39 o n-1 grados de libertad.
Para leer en la tabla de la distribución t se procede de la siguiente manera:
Usted encontrará los valores críticos de t para los grados de libertad adecuados en la tabla para la distribución t. Las columnas de la tabla representan el área de la cola superior de la distribución t. Cada fila representa el valor t determinado para cada grado de libertad específico. Por ejemplo, con 10 grados de libertad, si se quiere un nivel de confianza del 90%, se encuentra el valor t apropiado como se muestra en la tabla. El nivel de confianza del 90% significa que el 5% de los valores (un área de 0,05) se encuentran en cada extremo de la distribución. Buscando en la columna para un área de la cola superior y en la fila correspondiente a 10 grados de libertad, se obtiene un valor crítico para t de 1.812. Puesto que t es una distribución simétrica con una media 0, si el valor de la cola superior es +1.812, el valor para el área de la cola inferior (0,05 inferior) sería -1.812. Un valor t de -1.812 significa que la probabilidad de que t sea menor a -1.812, es 0,05, o 5% (vea la figura).
Ejemplos ilustrativos:
Solución:
Con lectura en la tabla
En la tabla con 12 grados de libertad y 0,025 de área se obtiene un valor de t =2,1788, y por simetría es igual también a t = -2,1788
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
El gráfico en Winstats se muestra en la siguiente figura:
2) Un fabricante de papel para computadora tiene un proceso de producción que opera continuamente a lo largo del turno. Se espera que el papel tenga una media de longitud de 11 pulgadas. De 500 hojas se selecciona una muestra de 29 hojas con una media de longitud del papel de 10,998 pulgadas y una desviación estándar de 0,02 pulgadas. Calcular la estimación del intervalo de confianza del 99%
Solución:
Los datos del problema son:
Como en los datos aparece el tamaño de la población, se debe verificar si el tamaño de la nuestra es mayor que el 5% para emplear la fórmula con el factor finito de corrección. Se remplaza valores en la siguiente fórmula:
Por lo tanto se debe utilizar la fórmula con el factor finito de corrección.
Calculando la proporción de la cola superior e inferior de la distribución se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
Interpretación: Existe un 99% de confianza de que la media poblacional se encuentra entre 10,998 y 11,008
El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra en la siguiente figura:
Estimación del intervalo de confianza para una proporción
Sirve para calcular la estimación de la proporción de elementos en una población que tiene ciertas características de interés. ´
Ejemplo ilustrativo
En un almacén se está haciendo una auditoria para las facturas defectuosas. De 500 facturas de venta se escoge una muestra de 30, de las cuales 5 contienen errores. Construir una estimación del intervalo de confianza del 95%.
Solución:
Los datos del problema son:
Como en los datos aparece el tamaño de la población, se debe verificar si el tamaño de la nuestra es mayor que el 5% para emplear la fórmula con el factor finito de corrección. Se remplaza valores en la siguiente fórmula:
Con lectura en la tabla de la distribución normal para un área de 0,025 se obtiene Z = -1,96, y por simetría Z =1,96
Calculando la proporción de la muestra se obtiene:
Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente figura:
El gráfico elaborado en Winstats y Paint se muestra en la siguiente figura:
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